<h3 class="l2w_content defn">Dfinition</h3><div class="l2w_content defn">
La fonction \(f) qui  tout rel \(x) associe \(y = f (x)) est <strong>affine</strong>
s'il existe deux nombres rels \(a) et \(b) tels que pour tout rel \(x),
<strong>\(f (x) = a x + b)</strong>.
</div>
\fold{}{Remarque (dvelopper)}{<h3 class="l2w_content thm">Remarque</h3><div class="l2w_content thm">
Le modle de fonction le plus simple est la <strong>fonction linaire</strong> dfinie par \(f (x) = a x) ce qui correspond  \(y) est proportionnel  \(x) ;<br>
c'est une fonction affine avec \(b=0). </span>
</div>}
Une proprit caractristique des fonctions affines est :
<h3 class="l2w_content thm">Proprit</h3><div class="l2w_content thm">

Les carts sur la variable image \(y) sont proportionnels
aux carts sur la variable initiale \(x).
</div>
Plus prcisment :
<h3 class="l2w_content thm">Proprit</h3><div class="l2w_content thm">
Si \(f) est affine alors il existe un rel \(a) tel que pour tous les rels
\(x_A) et\(x_B) avec \(x_A) \ne \( x_B), \((f (x_B)- f (x_A))/(x_B-x_A )=a).
Le nombre rel \(a) est appel le coefficient directeur de \(f).
Si \(y_A = f (x_A)) et \(y_B = f (x_B)) alors \(a=(y_B-y_A)/(x_B-x_A )).
</div>
\fold{}{Exemples concrets (Dvelopper)}{
<h3 class="l2w_content thm">Proprit</h3><div class="l2w_content thm">
Si la fonction \(f) est le cot total de \(x) objets alors \(a) est le cot marginal
c'est--dire le cot d'un objet supplmentaire lorsqu'on en produit dj \(x)
et il est constant.<br>
Si la fonction \(f) reprsente la position d'un objet mobile sur un axe (en mtres)
au bout de \(x) minutes, alors \(a) reprsente la vitesse en mtres par minutes et
cette vitesse est constante.
</div>}
<p>Graphiquement, le coefficient directeur est le rapport de l'augmentation verticale
par rapport  l'augmentation horizontale. Par ailleurs, \(b = f (0))
est l'ordonne  l'origine.</p>
<h3 class="l2w_content exemple">Exemples</h3><div class="l2w_content exemple">
<ul class="inline wims_nopuce wimscenter">
<li>\(f(x)=2/3 x+1)<br>
\draw{450,350}{alt f(x)=2/3 x+1
xrange -3.2,6.2
yrange -1.5,5.5
linewidth 1
parallel -3,-2,-3,7,1,0,10,black
parallel -4,-2,7,-2,0,1,12,black
linewidth 2
arrow -3.2,0,6.2,0,10,black
arrow 0,-1.5,0,5.5,10,black

text black, -2.4,-0.1,large,"-2"
text black, -1.4,-0.1,large,"-1"
text black, -0.3,-0.1,large,"0"
text black, 0.7,-0.1,large,"1"
text black, 1.7,-0.1,large,"2"
text black, 2.7,-0.1,large,"3"
text black, 3.7,-0.1,large,"4"
text black, 4.7,-0.1,large,"5"
text black, 5.7,-0.1,large,"6"

text black, -0.4,-0.7,large,"-1"
text black, -0.3,0.3,large,"0"
text black, -0.3,1.3,large,"1"
text black, -0.3,2.3,large,"2"
text black, -0.3,3.3,large,"3"
text black, -0.3,4.3,large,"4"
text black, -0.3,5.3,large,"5"

text blue, 3.1,4.3,giant,a=2/3
text blue, 5.6,4.3,giant,2
text blue, 4.4,3.4,giant,3

segment -4.5,-2,7.5,6, blue
dlines blue,3,3,6,3,6,5
}
 </li><li>
 \(g(x)=-1/3 x+2)<br>
 \draw{450,350}{alt g(x)=-1/3 x+2
xrange -3.2,6.2
yrange -1.5,5.5
linewidth 1
parallel -3,-2,-3,7,1,0,10,black
parallel -4,-2,7,-2,0,1,12,black
linewidth 2
arrow -3.2,0,6.2,0,10,black
arrow 0,-1.5,0,5.5,10,black

text black, -2.4,-0.1,large,"-2"
text black, -1.4,-0.1,large,"-1"
text black, -0.3,-0.1,large,"0"
text black, 0.7,-0.1,large,"1"
text black, 1.7,-0.1,large,"2"
text black, 2.7,-0.1,large,"3"
text black, 3.7,-0.1,large,"4"
text black, 4.7,-0.1,large,"5"
text black, 5.7,-0.1,large,"6"

text black, -0.4,-0.7,large,"-1"
text black, -0.3,0.3,large,"0"
text black, -0.3,1.3,large,"1"
text black, -0.3,2.3,large,"2"
text black, -0.3,3.3,large,"3"
text black, -0.3,4.3,large,"4"
text black, -0.3,5.3,large,"5"

text red, 3.5,1.7,giant,a= -1/3
text red, 1.3,2.3,giant,3
text red, 2.4,1.7,giant,- 1

segment -6,4,9,-1, red
dlines red,0,2,3,2,3,1
}
</li></ul>
</div
<p><strong>Pour dterminer la fonction affine \(f) telle que \(y_A = f(x_A)) et \(y_B = f(x_B))</strong>, on calcule d'abord le coefficient directeur \(a), puis on remarque que si \(y = f (x))
alors :<br>
\((y-y_A)/(x-x_A ) = a) donc \(y-y_A=a(x-x_A)) ainsi \(y=a(x-x_A)+y_A)
d'o <span class="myemph">\(f(x) = a(x-x_A)+y_A)</span>. </p>
<h3 class="l2w_content exemple">Exemple</h3><div class="l2w_content exemple">
Si \(f) est une fonction affine telle que \(f (12) = 17) et \(f (16) = 25) alors le coefficient directeur est :<br>
\(a = (25-17)/(16-12)=8/4 =2) et \(f (x) = 2 (x-12) + 17 = 2 x - 24 +17 = 2 x - 7).</p>
<p>On peut ainsi dfinir une fonction affine  partir des images de deux valeurs distinctes
ou dterminer une quation de droite  partir des coordonnes de deux points distincts.
C'est ainsi le moyen le plus simple pour estimer une quantit  partir de deux informations,
en supposant que les carts sur la deuxime variable sont proportionnels
aux carts sur la premire.</div>

